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Modélisation théorique des plasmas sans collision

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La plupart des plasmas spatiaux étudiés au LPP peuvent être qualifiés de "sans collisions". Cette propriété a des conséquences importantes sur les phénomènes qui se produisent dans ces plasmas ainsi que sur la façon de les comprendre et de les modéliser.
L’étude de ces problèmes est donc naturellement l’une des spécialités des chercheurs du groupe spatial. Un livre "Collisionless Plasmas in Astrophysics" dont deux des auteurs sont au LPP, fait le bilan de l’état de l’art dans ce domaine. Une formation à destination des doctorants est aussi assurée chaque année à l’Observatoire de Meudon par les auteurs et leurs collègues de l’Observatoire sur ce thème.

  Chercheurs LPP

N. Aunai, G. Belmont, T. Chust, C. Krafft, L. Rezeau, R. Smets

 Sélection de publications

 Sans collisions ?

Qu’est ce qu’un plasma sans collisions ? Et d’abord, qu’appelle-t-on "collisions" dans un plasma ? Cette notion est elle comparable à la notion habituelle de collisions entre particules neutres ? La réponse est non.

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Collision dans un gaz neutre ou dans un plasma. Les collisions entre particules neutres sont binaires (figure de gauche), c’est-à-dire qu’une particule ne subit l’influence que d’une autre particule à la fois, et seulement lorsqu’elle en passe très près. Entre ces "collisions", la particule va en ligne droite. Dans un plasma (figure de droite), chaque particule a une trajectoire sans point anguleux, régie à chaque instant par le champ électrique dû à toutes les autres. Cette trajectoire serait celle en pointillé si les particules environnantes formaient un fluide continu, mais les petits écarts au caractère "fluide continu" font que la particule s’éloigne progressivement de cette trajectoire idéale. C’est ce qu’on appelle "collisions" en physique des plasmas.

Dans un milieu neutre (figure de gauche), chaque particule va en ligne droite sauf en quelques points où elle "rencontre" une autre particule (c’est-à-dire qu’elle en passe extrêmement près) et où elle subit une déviation brusque. La trajectoire est donc une succession de segments de droite, avec quelques points anguleux (le nombre de points anguleux tend vers zéro lorsque la densité diminue). La distance entre deux points anguleux est appelée "libre parcours moyen".

Dans un plasma au contraire (figure de droite), les interactions entre particules chargées ne se font pas à très courte distance, mais via l’interaction électrostatique en 1/r2 qui est à longue portée. On est donc dans la limite opposée à celle des gaz neutres : chaque particule est à chaque instant influencée par un très grand nombre des autres particules qui l’entourent. Sa trajectoire est donc toujours essentiellement régie par le champ collectif dû à toutes les autres, considérées comme un fluide continu. A ce champ "idéal" viennent se superposer des fluctuations dues au caractère non continu des sources du champ. Il en découle des perturbations -"molles" et jamais anguleuses- qui ne la font diverger sensiblement de sa trajectoire idéale qu’au bout d’un certain temps. La distance parcourue pendant ce temps est encore appelée "libre parcours moyen", mais sa signification physique est donc sensiblement différente de la précédente.

Un plasma peut être dit "sans collisions" lorsqu’on peut complètement ignorer le caractère non-continu des sources du champ c’est-à-dire, par définition, chaque fois que l’on étudie des phénomènes d’échelles plus petites que le libre parcours moyen.

 Cinétique et fluide

Comment décrire un plasma sans collisions ? La façon statistique la plus complète de le faire consiste à considérer la fonction de distribution des vitesses f(v), qui est la densité de probabilité d’observer une particule de vitesse v à un endroit r et à un instant t. Toutes les quantités classiques des théories fluides, la densité n, la vitesse fluide u et la pression P s’en déduisent car ce sont des intégrales de cette fonction (moments d’ordre 0, 1 et 2).

Comment modéliser l’évolution d’un plasma sans collisions ? L’évolution de la fonction de distribution est calculable car elle est régie par une équation déterministe : l’équation de Vlasov. Dès qu’on est en mesure de déterminer l’évolution de f(v), l’évolution des moments macroscopiques n, u et P s’en déduit naturellement. Au contraire, lorsqu’on connaît ces moments dans une condition initiale sans connaître f(v), l’évolution ultérieure ne peut pas être déterminée de façon unique car plusieurs fonctions de distribution, évoluant différemment, peuvent partager ces mêmes moments (figure 2). C’est donc une situation très différente de la thermodynamique où la connaissance des quelques premiers moments initiaux permet de déterminer sans ambigüité l’évolution ultérieure de ces mêmes moments.

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La fonction de distribution de gauche, qui est Maxwellienne, partage les mêmes premiers moments, densité, vitesse moyenne et pression, que la fonction de droite, qui est constituée de deux faisceaux séparés se propageant en sens inverse. Il est peu probable que si l’on part, dans une portion limitée de l’espace, de l’une ou l’autre de ces distributions, l’évolution ultérieure des distributions et de ses moments, soit la même. Ceci montre la difficulté de modéliser les plasmas sans collisions en ne considérant que leurs moments.

Si on ne veut (ou si on ne peut) travailler que sur les seuls moments, comme on le fait en thermodynamique, c’est-à-dire sans introduire la fonction f(v), comment peut on faire ?
En l’intégrant, on peut déduire de l’équation de Vlasov un ensemble d’équations qui relient entre elles les évolutions des différents moments. Les premières de ces équations sont alors fondamentalement identiques aux équations fluides habituelles, équation de continuité, de Navier-Stokes, d’énergie, etc… Mais on peut de cette façon en construire un nombre infini et elles ne forment jamais un système fermé tant qu’on n’inclut pas dans le système tous les moments jusqu’à un ordre infini. Si on veut s’en tenir par exemple aux moments d’ordres 0, 1 et 2, comme en thermodynamique, le système inclut le moment d’ordre 3 (flux de chaleur). Si on veut décrire aussi l’évolution du moment d’ordre 3, le système inclut le moment d’ordre 4, etc. Ce fait est en accord avec le fait que, dans un plasma sans collisions, la connaissance de seulement les quelques premiers moments dans la condition initiale ne permet pas de déterminer de façon unique l’évolution ultérieure de ces mêmes moments.

 Thermodynamique, MagnetoHydroDynamique et phénomènes cinétiques.

La thermodynamique, comme la mécanique des fluides ou la MHD (MagnétoHydroDynamique, utilisée pour les plasmas magnétisés) sont des théories "fermées" au niveau des trois premiers moments, n, u et P. Comment est-ce possible ?
Ces théories contiennent effectivement les trois équations de conservation que l’on peut déduire de Vlasov et qui traduisent la conservation du nombre de particules, de l’impulsion et de l’énergie. Mais elles incluent aussi une équation supplémentaire, dite "équation d’état", qui permet de fermer le système sans introduire le moment d’ordre 4 de la fonction de distribution. Cette équation "de fermeture" repose alors sur une hypothèse : il existe un grand nombre de collisions qui redistribuent en permanence les impulsions et les énergies des particules de façon inconnue mais supposée équiprobable. Cette hypothèse entraine le principe de "maximisation de l’entropie", qui signifie que seule la fonction de distribution la plus probable (Gaussienne dans le cas homogène stationnaire) peut être observée. Il n’en est évidemment rien dans un plasma sans collisions où la notion "d’état le plus probable" n’a pas de sens : si l’on part par exemple d’une distribution homogène et stationnaire quelconque, Gaussienne ou non, rien ne la fera évoluer au cours du temps et cette distribution stationnaire n’a donc pas de raison d’être considérée comme plus ou moins probable qu’une autre.

Il est clair qu’il faut renoncer définitivement aux fermetures "entropiques" quand on travaille dans un plasma sans collisions. Mais cela ne signifie pas pour autant que l’on ne puisse jamais employer de théorie fluide dans ce cas. Cela reste possible chaque fois qu’une équation de fermeture peut être trouvée. Le fait que toutes les particules aient une trajectoire régie par le même champ électromagnétique collectif rend souvent la chose possible. Il n’est pas rare par exemple qu’une hypothèse adiabatique (flux de chaleur nul) soit justifiée pour les ions et une hypothèse isotherme (température constante) pour les électrons. Mais ces propriétés proviennent alors nécessairement de propriétés physiques du système sans rapport avec l’entropie ou avec un quelconque argument probabiliste de cet ordre.

Lorsqu’il n’existe aucune équation de fermeture simple qui permette de modéliser de façon "fluide" un certain phénomène, ce phénomène peut être qualifié de "cinétique". Les modélisations cinétiques, qui consistent à suivre l’évolution de f(v) partout et à tout instant sont naturellement beaucoup plus lourdes que les modélisations fluides. Elles restent même hors de portée des capacités numériques des calculateurs actuels dès qu’on veut traiter des problèmes 3D et de grande dimension.

 Quelques exemples de phénomènes "cinétiques"

Un certain nombre des phénomènes de la physique spatiale étudiée au LPP peuvent être qualifiés de "cinétiques". En voici une petite liste, non exhaustive.

Amortissement Landau. Si on décrit le plasma de façon fluide, on peut déterminer le nombre et les propriétés de toutes les ondes linéaires qui peuvent s’y propager. En l’absence de viscosité ou de tout autre effet dissipatif, elles se propagent sans amortissement. Au lieu de ce petit nombre de modes fluides, un calcul cinétique complet (mais naïf) semblerait indiquer qu’il existe en réalité une infinité de modes de propagation. Mais ce résultat est trompeur : à partir de n’importe quelle condition initiale "raisonnable" pour les fonctions de distribution, il y a superposition de ces différents modes de sorte que, rapidement, il ne reste plus que des ondes qui se propagent presque comme les modes fluides, mais avec une différence essentielle : elles possèdent toujours un petit amortissement, appelé "amortissement Landau". Cet amortissement cinétique devient même très fort pour les ondes qui se propagent à une vitesse proche de la vitesse thermique des particules. L’existence d’un amortissement systématique venant d’une équation (Vlasov) non dissipative a suscité depuis sa mise en évidence (en 1958) de nombreux débats philosophiques.

Magnétopause et reconnexion magnétique. Dans la théorie fluide qu’est la MHD, les lignes du champ magnétique sont toujours "gelées" dans le plasma. Cela signifie qu’elles sont comme des fils élastiques entrainés par le flot : elles se déplacent, se déforment mais chacune d’entre elles garde son identité au cours du mouvement. Dans ce cadre, le vent solaire peut entrainer ses lignes de champ tout près de la magnétosphère, mais il ne devrait pas pouvoir dépasser une frontière étanche, la magnétopause, au-delà de laquelle les lignes de champ sont celles du champ magnétique terrestre. En MHD, une ligne du vent solaire ne peut pas se re-connecter à une ligne terrestre. La magnétopause est un exemple de ce qu’on appelle, en physique des plasmas, une "discontinuité tangentielle". En réalité, la magnétopause est parfois suffisamment fine pour violer les limites de validité de la MHD, et la faible pénétration du plasma solaire dans la magnétosphère qui en découle a des conséquences importantes (dont, in fine, les aurores polaires). L’étude de la reconnexion est très dépendante des effets cinétiques car ce sont a priori ces effets qui deviennent dominants lorsque la MHD devient non valide. Connaître un équilibre de la frontière qui soit stationnaire à l’échelle cinétique, instable ou non vis-à-vis de la reconnexion, constitue en soi une étude délicate à laquelle le LPP a largement contribué.

Turbulence. La turbulence est un ensemble de nombreuses fluctuations, à toutes les échelles, en équilibre non linéaire. Sa théorie a été extrêmement développée en hydrodynamique, puis en MHD. Lorsqu’on étudie expérimentalement ses propriétés, par exemple dans le vent solaire, on constate que son spectre continue bien au-delà des limites de validité de la MHD, c’est-à-dire jusqu’à des échelles plus petites que le rayon de Larmor des ions, et même que celui des électrons. La connaissance expérimentale de la turbulence à ces très petites échelles a progressé de façon importante ces dernières années grâce aux mesures satellitaires, mais la théorie correspondante, pour laquelle les effets cinétiques sont cruciaux, est encore débutante. Le LPP contribue sur les deux fronts, expérimental et théorique.

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